Definition und grundlegende Eigenschaften von Ringen. Ringe. Felder. Ideale und Homomorphismen von Ringen. §5. Körper komplexer Zahlen. Operationen auf Komplex

Definition 2.5. Ring angerufen Algebra

R = (R, +, ⋅, 0 , 1 ),

deren Signatur aus zwei binären und zwei Nulloperationen besteht, und für jedes a, b, c ∈ R gelten die folgenden Gleichungen:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. ein + 0 = ein;
4. Für jedes a ∈ R gibt es ein Element a" mit a+a" = 0
5. a-(b-c) = (a-b)-c;
6. ein ⋅ 1 = 1 ⋅ ein = ein;
7. а⋅(b + с) =а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ a = b⋅а + с⋅а.

Die Operation + wird aufgerufen den Ring falten , Betrieb Ringmultiplikation , Element 0 - Null des Rings , Element 1 - Ringeinheit .

Es werden die in der Definition angegebenen Gleichungen 1-7 aufgerufen Axiome des Rings . Betrachten wir diese Gleichheiten aus der Sicht des Konzepts Gruppen Und Monoid.

Die Ringaxiome 1-4 bedeuten, dass die Algebra (R, +, 0 ), dessen Signatur nur aus den Additionsoperationen des Rings + und der Null des Rings besteht 0 , Ist abelsche Gruppe. Diese Gruppe heißt additive Gruppe des Rings R und sie sagen auch, dass der Ring durch Addition eine kommutative (abelsche) Gruppe ist.

Die Ringaxiome 5 und 6 zeigen, dass die Algebra (R, ⋅, 1), deren Signatur nur die Multiplikation des Rings ⋅ und die Identität des Rings 1 enthält, ein Monoid ist. Dieses Monoid heißt multiplikatives Monoid des Rings R und sie sagen, dass ein Ring durch Multiplikation ein Monoid ist.

Der Zusammenhang zwischen Ringaddition und Ringmultiplikation wird durch Axiom 7 hergestellt, wonach die Multiplikationsoperation in Bezug auf die Additionsoperation distributiv ist.

Unter Berücksichtigung des oben Gesagten stellen wir fest, dass ein Ring eine Algebra mit zwei binären und zwei Nulloperationen ist R =(R, +, ⋅, 0 , 1 ), so dass:

1. Algebra (R, +, 0 ) - kommutative Gruppe;
2. Algebra (R, ⋅, 1 ) - Monoid;
3. Die Operation ⋅ (Multiplikation eines Rings) ist distributiv in Bezug auf die Operation + (Addition eines Rings).

Bemerkung 2.2. In der Literatur gibt es eine unterschiedliche Zusammensetzung von Ringaxiomen im Zusammenhang mit der Multiplikation. Daher kann es sein, dass Axiom 6 fehlt (es gibt kein Axiom). 1 ) und Axiom 5 (Multiplikation ist nicht assoziativ). Dabei unterscheidet man assoziative Ringe (zu den Axiomen des Rings kommt die Forderung der assoziativen Multiplikation hinzu) und Ringe mit Eins. Im letzteren Fall kommen die Anforderungen an die Assoziativität der Multiplikation und die Existenz einer Einheit hinzu.

Definition 2.6. Der Ring heißt kommutativ , wenn seine Multiplikationsoperation kommutativ ist.

Beispiel 2.12. A. Die Algebra (ℤ, +, ⋅, 0, 1) ist ein kommutativer Ring. Beachten Sie, dass die Algebra (ℕ 0, +, ⋅, 0, 1) kein Ring ist, da (ℕ 0, +) ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe ist.

B. Betrachten Sie die Algebra ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (k>1) mit der Operation ⊕ k der Addition modulo l und ⨀ k (Multiplikation). Modulo l). Letzteres ähnelt der Operation der Addition modulo l: m ⨀ k n ist gleich dem Rest der Division der Zahl m ⋅ n durch k. Diese Algebra ist ein kommutativer Ring, der aufgerufen wird Ring der Reste Modulo k.

V. Die Algebra (2 A, Δ, ∩, ∅, A) ist ein kommutativer Ring, der aus den Eigenschaften des Schnitts und der symmetrischen Differenz von Mengen folgt.

G. Ein Beispiel für einen nichtkommutativen Ring gibt die Menge aller quadratischen Matrizen fester Ordnung mit den Operationen Matrixaddition und -multiplikation an. Die Einheit dieses Rings ist die Identitätsmatrix und die Nullstelle ist die Nullmatrix.

D. Lassen L- linearer Raum. Betrachten wir die Menge aller in diesem Raum wirkenden linearen Operatoren.

Erinnern wir uns daran Menge zwei lineare Operatoren A Und IN Betreiber genannt A + B, so dass ( A + IN) X = Oh +In, X∈ L.

Produkt linearer Operatoren A Und IN wird als linearer Operator bezeichnet AB, so dass ( AB)X = A(In) für jeden X ∈ L.

Anhand der Eigenschaften der angegebenen Operationen an linearen Operatoren können wir zeigen, dass die Menge aller im Raum wirkenden linearen Operatoren ist L bildet zusammen mit den Operationen der Addition und Multiplikation von Operatoren einen Ring. Der Nullpunkt dieses Rings ist Nulloperator und nach Einheit - Identitätsoperator.

Dieser Ring heißt Ring linearer Operatoren im linearen Raum L. #

Die Ringaxiome werden auch genannt grundlegende Identitäten des Rings . Eine Ringidentität ist eine Gleichheit, deren Gültigkeit erhalten bleibt, wenn die darin vorkommenden Variablen durch beliebige Elemente des Rings ersetzt werden. Es werden Grundidentitäten postuliert, aus denen dann als Konsequenzen weitere Identitäten abgeleitet werden können. Schauen wir uns einige davon an.

Denken Sie daran, dass die additive Gruppe eines Rings kommutativ und die Operation ist Subtraktion.

Satz 2.8. In jedem Ring gelten die folgenden Identitäten:

1. 0 ⋅ ein = ein ⋅ 0 = 0 ;
2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀Lasst uns die Identität beweisen 0 ⋅ ein = 0 . Schreiben wir für beliebiges a:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ ein = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ ein = ein

Also ein + 0 ⋅ ein = ein. Die letzte Gleichung kann als Gleichung in der Additivgruppe eines Rings bezüglich eines unbekannten Elements betrachtet werden 0 ⋅ a. Da in der additiven Gruppe jede Gleichung der Form a + x = b eine eindeutige Lösung x = b - a hat, dann 0 ⋅ a = a - a = 0 . Identität a⋅ 0 = 0 wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Beweisen wir nun die Identität – (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). Wir haben

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

daher a ⋅ (-b) = -(a ⋅ b). Auf die gleiche Weise kann man beweisen, dass (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

Lassen Sie uns das dritte Identitätspaar beweisen. Betrachten wir den ersten davon. Unter Berücksichtigung dessen, was oben bewiesen wurde, haben wir

a ⋅ (b - c) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

diese. Die Identität ist wahr. Die zweite Identität dieses Paares wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Folgerung 2.1. In jedem Ring ist die Identität ( -1 ) ⋅ x = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀Das angegebene Korollar folgt aus der zweiten Identität von Satz 2.8 für a = 1 und b = x.

Die ersten beiden in Satz 2.8 bewiesenen Identitäten drücken eine Eigenschaft namens aus aufhebende Eigenschaft von Null im Ring. Das dritte Identitätspaar dieses Theorems drückt die Verteilungseigenschaft der Operation der Multiplikation eines Rings in Bezug auf die Operation der Subtraktion aus. Wenn Sie also in einem beliebigen Ring rechnen, können Sie die Klammern öffnen und die Vorzeichen auf die gleiche Weise ändern wie beim Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren reeller Zahlen.

Nicht-Null-Elemente a und b des Rings R angerufen Trennwände null , wenn a ⋅ b = 0 oder b ⋅ a = 0 . Ein Beispiel für einen Ring mit einem Nullteiler gibt any Modulo-Restring k, wenn k eine zusammengesetzte Zahl ist. In diesem Fall ist das Produkt modulo k eines beliebigen Typs, das bei der gewöhnlichen Multiplikation ein Vielfaches von k ergibt, gleich Null. Beispielsweise sind in einem Restring Modulo 6 die Elemente 2 und 3 Nullteiler, da 2 ⨀ 6 3 = 0. Ein weiteres Beispiel ist ein Ring quadratischer Matrizen fester Ordnung (mindestens zwei). Zum Beispiel haben wir für Matrizen zweiter Ordnung

Wenn a und b ungleich Null sind, sind die gegebenen Matrizen Nullteiler.

Durch Multiplikation ist ein Ring nur ein Monoid. Stellen wir uns die Frage: In welchen Fällen ist ein Multiplikationsring eine Gruppe? Beachten Sie zunächst, dass die Menge aller Elemente des Rings in denen 0 ≠ 1 , können keine Multiplikationsgruppen bilden, da Null keine Umkehrung haben kann. In der Tat, wenn wir davon ausgehen, dass ein solches Element 0" existiert, also einerseits 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , und andererseits - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , woraus 0 = 1. Dies widerspricht der Bedingung 0 ≠ 1 . Somit kann die oben gestellte Frage wie folgt verfeinert werden: In welchen Fällen bildet die Menge aller Nicht-Null-Elemente eines Rings bei Multiplikation eine Gruppe?

Wenn ein Ring Nullteiler hat, dann bildet die Teilmenge aller Nicht-Null-Elemente des Rings keine Multiplikationsgruppe, schon allein deshalb, weil diese Teilmenge unter der Multiplikationsoperation nicht abgeschlossen ist, d. h. Es gibt Nicht-Null-Elemente, deren Produkt gleich Null ist.

Ein Ring, in dem die Menge aller von Null verschiedenen Elemente durch Multiplikation eine Gruppe bildet, wird genannt Körper , kommutativer Körper - Feld , und die Gruppe der Nicht-Null-Elemente des Körpers (Feldes) durch Multiplikation - multiplikative Gruppe Das Körper (Felder). Laut Definition ist ein Feld ein Sonderfall eines Rings, in dem Operationen zusätzliche Eigenschaften haben. Schreiben wir alle Eigenschaften auf, die für Feldoperationen erforderlich sind. Sie werden auch genannt Axiome des Feldes .

Das Feld ist eine Algebra F = (F, +, ⋅, 0, 1), deren Signatur aus zwei Binär- und zwei Nulloperationen besteht und deren Identitäten gültig sind:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a+0 = a;
4. für jedes a ∈ F gibt es ein Element -a, so dass a+ (-a) = 0;
5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
6. a ⋅ b = b ⋅ a
7. ein ⋅ 1 = 1 ⋅ ein = ein
8. Für jedes von 0 verschiedene a ∈ F gibt es ein Element a -1, so dass a ⋅ a -1 = 1;
9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Beispiel 2.13. A. Algebra (ℚ, +, ⋅, 0, 1) ist ein Feld namens Bereich der rationalen Zahlen .

B. Die Algebren (ℝ, +, ⋅, 0, 1) und (ℂ, +, ⋅, 0, 1) heißen Körper Felder reeller und komplexer Zahlen jeweils.

V. Ein Beispiel für einen Körper, der kein Körper ist, ist die Algebra Quaternionen . #

Wir sehen also, dass die Feldaxiome den bekannten Gesetzen der Addition und Multiplikation von Zahlen entsprechen. Wenn wir numerische Berechnungen durchführen, „arbeiten wir in den Feldern“, das heißt, wir befassen uns hauptsächlich mit den Feldern der rationalen und reellen Zahlen, manchmal „bewegen“ wir uns auch in das Feld der komplexen Zahlen.

Das Enthalten einer Einheit wird aufgerufen mit einem klingeln . Die Einheit wird normalerweise durch die Zahl „1“ (die die Eigenschaften der gleichnamigen Zahl widerspiegelt) oder manchmal (z. B. in der Matrixalgebra) durch den lateinischen Buchstaben I oder E bezeichnet.

Unterschiedliche Definitionen algebraischer Objekte können entweder das Vorhandensein einer Einheit erfordern oder diese als optionales Element belassen. Ein einseitig neutrales Element wird nicht als Einheit bezeichnet. Die Einheit zeichnet sich durch die allgemeine Eigenschaft eines zweiseitig neutralen Elements aus.

Manchmal werden die Einheiten eines Rings als seine invertierbaren Elemente bezeichnet, was zu Verwirrung führen kann.

Eins-, Null- und Kategorientheorie

Die Einheit ist das einzige Element des Rings, das sowohl idempotent als auch invertierbar ist.

Reversibilität

Reversibel Jedes Element u eines Rings mit Eins, das ein zweiseitiger Teiler der Einheit ist, heißt:

unter Beibehaltung von Eigenschaften wie Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation. Element 1 wird die Einheit der erweiterten Algebra sein. Wenn es in der Algebra bereits eine Einheit gab, wird sie nach der Erweiterung zu einem irreversiblen Idempotenten.

Dies kann beispielsweise auch mit einem Ring erfolgen, da jeder Ring eine assoziative Algebra darstellt

heißt die Ordnung des Elements a. Wenn ein solches n nicht existiert, dann heißt das Element a ein Element unendlicher Ordnung.

Satz 2.7 (Kleiner Satz von Fermat). Wenn ein G und G eine endliche Gruppe ist, dann ist ein |G| =e.

Wir akzeptieren ohne Nachweis.

Denken Sie daran, dass jede Gruppe G, ° eine Algebra mit einer binären Operation ist, für die drei Bedingungen erfüllt sind, d. h. die angegebenen Axiome der Gruppe.

Eine Teilmenge G 1 einer Menge G mit der gleichen Operation wie in einer Gruppe heißt Untergruppe, wenn G 1 ,° eine Gruppe ist.

Es kann bewiesen werden, dass eine nicht leere Teilmenge G 1 einer Menge G genau dann eine Untergruppe einer Gruppe G ° ist, wenn die Menge G 1 zusammen mit allen Elementen a und b das Element a ° b -1 enthält .

Der folgende Satz kann bewiesen werden.

Satz 2.8. Eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.

§ 7. Algebra mit zwei Operationen. Ring

Betrachten wir Algebren mit zwei binären Operationen.

Ein Ring ist eine nichtleere Menge R, auf der zwei binäre Operationen + und °, Addition und Multiplikation genannt, eingeführt werden, sodass:

1) R; + ist eine abelsche Gruppe;

2) Multiplikation ist assoziativ, d.h. Für a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;

3) Die Multiplikation ist relativ zur Addition verteilend, d. h. Für

a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(a ° c) und (a +b)° c= (a° c)+(b° c).

Ein Ring heißt kommutativ, wenn für a,b R gilt: a ° b=b ° a.

Wir schreiben den Ring als R; +, °.

Da R eine abelsche (kommutative) Gruppe unter Addition ist, hat sie eine additive Einheit, die mit 0 oder θ bezeichnet und Null genannt wird. Die additive Umkehrung von a R wird mit -a bezeichnet. Darüber hinaus gilt in jedem Ring R:

0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.

Dann verstehen wir das

x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 für x R; x° y=(x + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 für y R.

Wir haben also gezeigt, dass für x R gilt: x ° 0 = 0 ° x = 0. Aus der Gleichheit x ° y = 0 folgt jedoch nicht, dass x = 0 oder y = 0. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen .

Beispiel. Betrachten wir eine Menge von Funktionen, die in einem Intervall stetig sind. Führen wir die üblichen Additions- und Multiplikationsoperationen für diese Funktionen ein: f(x)+ ϕ (x) und f(x)· ϕ (x) . Wie leicht zu erkennen ist, erhalten wir einen Ring, der mit C bezeichnet wird. Betrachten Sie die in Abb. gezeigten Funktionen f(x) und ϕ (x). 2.3. Dann erhalten wir, dass f(x) ≡ / 0 und ϕ (x) ≡ / 0, aber f(x) ϕ (x) ≡0.

Wir haben bewiesen, dass das Produkt gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist: a ° 0= 0 für a R und haben anhand eines Beispiels gezeigt, dass es sein kann, dass a ° b= 0 für a ≠ 0 und b ≠ 0.

Wenn im Ring R gilt, dass a ° b= 0, dann heißt a der linke und b der rechte Teiler von Null. Wir betrachten das Element 0 als trivialen Teiler von Null.

Ein kommutativer Ring ohne andere Nullteiler als den trivialen Nullteiler wird Integralring oder Integritätsbereich genannt.

Das ist leicht zu erkennen

0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y

und daher ist x ° (-y)=(-x) ° y die Umkehrung des Elements x° y, d.h.

x ° (-y) = (-x)° y = -(x ° y).

Ebenso kann gezeigt werden, dass (- x) ° (- y) = x ° y.

§ 8. Ring mit Einheit

Wenn es im Ring R eine Einheit bezüglich der Multiplikation gibt, dann wird diese multiplikative Einheit mit 1 bezeichnet.

Es lässt sich leicht beweisen, dass die multiplikative Einheit (wie auch die additive Einheit) eindeutig ist. Die multiplikative Umkehrung eines R (die Umkehrung der Multiplikation) wird mit a-1 bezeichnet.

Satz 2.9. Die Elemente 0 und 1 sind unterschiedliche Elemente des von Null verschiedenen Rings R.

Nachweisen. Es sei angenommen, dass R nicht nur 0 enthält. Dann gilt für a ≠ 0 a° 0= 0 und a° 1= a ≠ 0, was impliziert, dass 0 ≠ 1, denn wenn 0= 1, dann würden ihre Produkte auf a zusammenfallen.

Satz 2.10. Additiveinheit, d.h. 0, hat keine multiplikative Umkehrung.

Nachweisen. à° 0= 0° a= 0 ≠ 1 für a R . Daher wird ein Ring ungleich Null niemals eine Gruppe unter Multiplikation sein.

Das Merkmal eines Rings R ist die kleinste natürliche Zahl k

so dass a + a + ... + a = 0 für alle a R . Eigenschaften des Rings

k − mal

geschrieben k=char R . Wenn die angegebene Zahl k nicht existiert, dann setzen wir char R= 0.

Sei Z die Menge aller ganzen Zahlen;

Q – die Menge aller rationalen Zahlen;

R – Menge aller reellen Zahlen; C ist die Menge aller komplexen Zahlen.

Jede der Mengen Z, Q, R, C mit den üblichen Additions- und Multiplikationsoperationen ist ein Ring. Diese Ringe sind kommutativ, mit einer multiplikativen Einheit gleich der Zahl 1. Diese Ringe haben keine Nullteiler, daher sind sie Integritätsbereiche. Die Charakteristik jedes dieser Ringe ist Null.

Der Ring der kontinuierlichen Funktionen (Ring C) ist ebenfalls ein Ring mit einer multiplikativen Einheit, die mit einer Funktion identisch gleich eins übereinstimmt. Dieser Ring hat Nullteiler, ist also kein Integritätsbereich und char C= 0.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Sei M eine nichtleere Menge und R = 2M die Menge aller Teilmengen der Menge M. Lassen Sie uns zwei Operationen auf R einführen: die symmetrische Differenz A + B = A B (die wir Addition nennen) und die Schnittmenge (die wir nennt man Multiplikation). Sie können sicherstellen, dass Sie es erhalten haben

Ring mit Einheit; Die additive Einheit dieses Rings ist , und die multiplikative Einheit des Rings ist die Menge M. Für diesen Ring gilt für jedes A, A R: A+ A = A A=. Daher ist charR = 2.

§ 9. Feld

Ein Körper ist ein kommutativer Ring, dessen von Null verschiedene Elemente bei Multiplikation eine kommutative Gruppe bilden.

Lassen Sie uns eine direkte Definition des Feldes geben und alle Axiome auflisten.

Ein Körper ist eine Menge P mit zwei binären Operationen „+“ und „°“, sogenannte Addition und Multiplikation, so dass:

1) Addition ist assoziativ: für a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;

2) Additiveinheit existiert: 0 P, das für ein P: a+0 =0 +a=a;

3) Für die Addition gibt es ein Umkehrelement: for a P (-a) P:

(-a)+a=a+(-a)=0;

4) Addition ist kommutativ: für a, b P: a+b=b+a ;

(Axiome 1 – 4 bedeuten, dass das Feld eine abelsche Gruppe unter Addition ist);

5) Multiplikation ist assoziativ: für a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;

6) Es gibt eine multiplikative Einheit: 1 P, was für ein P:

1 ° a=a° 1 =a;

7) für jedes Element ungleich Null(a ≠ 0) Es gibt ein inverses Element der Multiplikation: für a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;

8) Multiplikation ist kommutativ: für a,b P: a ° b=b ° a ;

(Axiome 5 – 8 bedeuten, dass ein Körper ohne Nullelement bei Multiplikation eine kommutative Gruppe bildet);

9) Multiplikation ist relativ zur Addition verteilend: für a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).

Beispielfelder:

1) R;+, - Körper der reellen Zahlen;

2) Q;+, - Körper der rationalen Zahlen;

3) C;+, - Körper komplexer Zahlen;

4) Sei P 2 = (0,1). Bestimmen wir, dass 1 +2 0=0 +2 1=1,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Dann ist F 2 = P 2 ;+ 2 ein Körper und heißt binäre Arithmetik.

Satz 2.11. Wenn a ≠ 0, dann ist die Gleichung a° x=b im Körper eindeutig lösbar.

Nachweisen . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b

Anmerkung: In dieser Vorlesung werden die Konzepte von Ringen besprochen. Es werden die grundlegenden Definitionen und Eigenschaften von Ringelementen gegeben und assoziative Ringe betrachtet. Es werden eine Reihe charakteristischer Probleme betrachtet, die Hauptsätze bewiesen und Probleme zur unabhängigen Betrachtung angegeben

Ringe

Es wird eine Menge R mit zwei binären Operationen (Addition + und Multiplikation) aufgerufen assoziativer Ring mit Einheit, Wenn:

Wenn die Multiplikationsoperation kommutativ ist, wird der Ring aufgerufen kommutativ Ring. Kommutative Ringe sind eines der Hauptforschungsobjekte in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie.

Hinweise 1.10.1.

Beispiele 1.10.2 (Beispiele für assoziative Ringe).

Wir haben bereits gesehen, dass die Gruppe der Reste (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, Modulo n mit der Additionsoperation, ist eine kommutative Gruppe (siehe Beispiel 1.9.4, 2)).

Definieren wir die Multiplikationsoperation, indem wir festlegen. Lassen Sie uns die Richtigkeit dieses Vorgangs überprüfen. Wenn C k =C k" , C l =C l" , dann k"=k+nu , l"=l+nv und daher C k"l" =C kl .

Als (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, dann ist ein assoziativer kommutativer Ring mit Einheit C 1 Restring modulo n).

Eigenschaften von Ringen (R,+,.)

Lemma 1.10.3 (Newtons Binomial). Sei R ein Ring mit 1 , , . Dann:

Nachweisen.

Definition 1.10.4. Eine Teilmenge S eines Rings R heißt Unterring, Wenn:

a) S ist eine Untergruppe hinsichtlich der Addition in der Gruppe (R,+);

b) denn wir haben ;

c) Für einen Ring R mit 1 wird angenommen, dass .

Beispiele 1.10.5 (Beispiele für Teilringe).

Aufgabe 1.10.6. Beschreiben Sie alle Teilringe im Restring Zn modulo n.

Hinweis 1.10.7. Im Ring Z 10 bilden Elemente, die Vielfache von 5 sind, einen Ring mit 1, der kein Unterring in Z 10 ist (diese Ringe haben unterschiedliche Einheitselemente).

Definition 1.10.8. Wenn R ein Ring ist und , , ab=0, dann heißt das Element a der linke Nullteiler in R, das Element b heißt der rechte Nullteiler in R.

Hinweis 1.10.9. In kommutativen Ringen gibt es natürlich keinen Unterschied zwischen linken und rechten Nullteilern.

Beispiel 1.10.10. Es gibt keine Nullteiler in Z, Q, R.

Beispiel 1.10.11. Der Ring stetiger Funktionen C hat Nullteiler. In der Tat, wenn

Beispiel 1.10.12. Wenn n=kl , 1

Lemma 1.10.13. Wenn es im Ring R keine (linken) Nullteiler gibt, dann aus ab=ac , wobei , , daraus folgt, dass b=c (d. h. die Fähigkeit zur Aufhebung durch ein Nicht-Null-Element auf der linken Seite, wenn es keine linken Nullteiler gibt, und auf der rechten Seite, wenn es keine rechten Nullteiler gibt).

Nachweisen. Wenn ab=ac , dann a(b-c)=0 . Da a kein linker Nullteiler ist, gilt b-c=0, also b=c.

Definition 1.10.14. Das Element heißt nullpotent, wenn x n =0 für einige . Man nennt die kleinste natürliche Zahl n Grad der Nullpotenz eines Elements .

Es ist klar, dass ein nullpotentes Element ein Nullteiler ist (wenn n>1, dann). , ). Die umgekehrte Aussage ist nicht wahr (es gibt keine nilpotenten Elemente in Z 6, aber 2, 3, 4 sind von Null verschiedene Teiler von Null).

Übung 1.10.15. Der Ring Z n enthält genau dann nullpotente Elemente, wenn n durch m 2 teilbar ist, wobei , .

Definition 1.10.16. Das Element x des Rings R heißt idempotent, wenn x 2 =x . Es ist klar, dass 0 2 =0, 1 2 =1. Wenn x 2 =x und , dann ist x(x-1)=x 2 -x=0, und daher sind nichttriviale Idempotente Nullteiler.

Mit U(R) bezeichnen wir die Menge der invertierbaren Elemente des assoziativen Rings R, d. h. diejenigen, für die es ein inverses Element s=r -1 gibt (d. h. rr -1 =1=r -1 r ).

Sei (K,+, ·) ein Ring. Da (K, +) eine abelsche Gruppe ist, erhalten wir unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Gruppen

NE-VO 1. In jedem Ring (K,+, ·) gibt es ein eindeutiges Nullelement 0 und zu jedem a ∈ K gibt es ein eindeutiges Gegenelement dazu -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. Für jedes a, b ∈ K im Ring K gibt es eine eindeutige Differenz a − b und a − b = a + (−b). Somit ist die Subtraktionsoperation im Ring K definiert und hat die Eigenschaften 1′–8′.

SV-VO 4. Die Multiplikationsoperation in K ist in Bezug auf die Subtraktionsoperation distributiv, d. h. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

Dok. Seien a, b, c ∈ K. Unter Berücksichtigung der Distributivität der Operation · in K bezüglich der Operation + und der Definition der Differenz der Elemente des Rings erhalten wir (a − b)c + bc = ( (a − b) + b)c = ac, woraus per Definitionsunterschied folgt, dass (a − b)c = ac − bc.

Auf ähnliche Weise wird das rechte Verteilungsgesetz der Multiplikationsoperation relativ zur Subtraktionsoperation bewiesen.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

Nachweisen. Sei a ∈ K und ein b-beliebiges Element aus K. Dann ist b − b = 0 und daher erhalten wir unter Berücksichtigung der vorherigen Eigenschaft a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Auf ähnliche Weise wird bewiesen, dass 0a = 0.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

Nachweisen. Seien a, b ∈ K. Dann ist (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. Daher ist (−a)b = −(ab).

Die Gleichheit a(−b) = −(ab) wird auf ähnliche Weise bewiesen.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

Nachweisen. Tatsächlich erhalten wir bei zweimaliger Anwendung der vorherigen Eigenschaft (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

KOMMENTAR. Die Eigenschaften 6 und 7 werden als Zeichenregeln im Ring bezeichnet.

Aus der Distributivität der Multiplikationsoperation im Ring K relativ zur Additionsoperation und den Eigenschaften 6 und 7 folgt Folgendes:

SV-VO 8. Seien k, l beliebige ganze Zahlen. Dann ist ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

Subring

Ein Teilring des Rings (K,+, ·) ist eine Teilmenge H der Menge K, die unter den in K definierten Operationen + und · abgeschlossen ist und unter diesen Operationen selbst ein Ring ist.

Beispiele für Teilringe:

Somit ist Z ein Unterring des Rings (Q,+, ·), Q ist ein Unterring des Rings (R,+, ·), Rn×n ist ein Unterring des Rings (Cn×n,+, ·) , Z[x] ist ein Teilring des Rings ( R[x],+, ·), D ist ein Teilring des Rings (C,+, ·).

In jedem Ring (K,+, ·) sind die Menge K selbst sowie die Singleton-Teilmenge (0) Teilringe des Rings (K,+, ·). Dies sind die sogenannten trivialen Teilringe des Rings (K,+, ·).

Die einfachsten Eigenschaften von Teilringen.

Sei H ein Teilring des Rings (K,+, ·), d.h. (H,+, ·) ist selbst ein Ring. Dies bedeutet, dass es sich um eine (H, +)-Gruppe handelt, d. h. H ist eine Untergruppe der Gruppe (K, +). Daher sind die folgenden Aussagen wahr.

SV-VO 1. Das Nullelement des Teilrings H des Rings K fällt mit dem Nullelement des Rings K zusammen.

SV-VO 2. Für jedes Element a des Unterrings H des Rings K fällt sein Gegenelement in H mit −a zusammen, d. h. mit seinem Gegenelement in K.

SV-VO 3. Für alle Elemente a und b des Unterrings H stimmt ihre Differenz in H mit dem Element a − b überein, d. h. mit der Differenz dieser Elemente in K.

Anzeichen eines Subrings.

THEOREM 1 (erstes Zeichen eines Unterrings).

Eine nichtleere Teilmenge H eines Rings K mit den Operationen + und · ist genau dann ein Teilring des Rings K, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

Notwendigkeit. Sei H ein Teilring des Rings (K,+, ·). Dann ist H eine Untergruppe der Gruppe (K, +). Daher erfüllt H nach dem ersten Kriterium einer Untergruppe (in der additiven Formulierung) die Bedingungen (1) und (2). Darüber hinaus ist H unter der in K definierten Multiplikationsoperation abgeschlossen, d. h. H

erfüllt auch Bedingung (3).

Angemessenheit. Sei H ⊂ K, H 6= ∅ und H erfüllt die Bedingungen (1) − (3). Aus den Bedingungen (1) und (2) gemäß dem ersten Kriterium einer Untergruppe folgt, dass H eine Untergruppe der Gruppe (K, +) ist, d.h. (H, +)-Gruppe. Da außerdem (K, +) eine abelsche Gruppe ist, ist (H, +) auch abelsch. Darüber hinaus folgt aus Bedingung (3), dass die Multiplikation eine binäre Operation auf der Menge H ist. Die Assoziativität der Operation · in H und ihre Distributivität bezüglich der Operation + folgt aus der Tatsache, dass die Operationen + und · in K haben solche Eigenschaften.

THEOREM 2 (zweites Zeichen eines Unterrings).

Eine nichtleere Teilmenge H eines Rings K mit den Operationen + und · ist

Teilring des Rings K t und t, wenn er die folgenden Bedingungen erfüllt:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

Der Beweis dieses Satzes ähnelt dem Beweis von Satz 1.

In diesem Fall werden Satz 2′ (das zweite Kriterium einer Untergruppe in der additiven Formulierung) und eine Anmerkung dazu verwendet.

7.Feld (Definition, Typen, Eigenschaften, Merkmale).

Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Identität e ist ungleich 0 , in dem jedes von Null verschiedene Element eine Umkehrung hat.

Klassische Beispiele für Zahlenkörper sind die Körper (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

EIGENTUM 1 . In jedem Bereich F Es gilt das Kontraktionsgesetz

um einen von Null verschiedenen gemeinsamen Faktor, d.h.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a ist ungleich 0 ⇒ b = c).

EIGENTUM 2 . In jedem Bereich F keine Nullteiler.

EIGENTUM 3 . Ring(K,+, ·) ist genau dann ein Feld

wenn es viele sind K\(0) ist eine kommutative Gruppe in Bezug auf die Operation der Multiplikation.

EIGENTUM 4 . Endlicher kommutativer Ring ungleich Null(K,+, ·) ohne Nullteiler ist ein Körper.

Der Quotient der Feldelemente.

Sei (F,+, ·) ein Körper.

Teilelemente A Und B Felder F , Wo b ist ungleich 0 ,

ein solches Element heißt c ∈ F , Was a = v. Chr .

EIGENTUM 1 . Für beliebige Elemente A Und B Felder F , Wo b ist ungleich 0 , es gibt einen eindeutigen Quotienten a/b , Und a/b= ab−1.

EIGENTUM 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a=e Und∀ a ∈ F a/e= a.

EIGENTUM 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

EIGENTUM 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

EIGENTUM 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

EIGENTUM 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

EIGENTUM 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

EIGENTUM 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

Feld F , dessen Einheit endliche Ordnung hat P in einer Gruppe(F, +) P .

Feld F Einheit, die in der Gruppe unendliche Ordnung hat(F, +) wird als charakteristisches Feld bezeichnet 0.

8. Unterfeld (Definition, Typen, Eigenschaften, Merkmale)

Feldunterfeld(F,+, ·) eine Teilmenge genannt S Sätze F , das im Rahmen der Operationen geschlossen ist+ Und· , definiert in F und selbst ist ein Feld relativ zu diesen Operationen.

Geben wir einige Beispiele für Unterfelder Q-Unterfeld des Feldes (R,+, ·);

R-Unterfeld des Feldes (C,+, ·);

Die folgenden Aussagen sind wahr.

EIGENTUM 1 . Unterfeldelement Null S Felder F fällt zusammen mit

Nullelement des Feldes F .

EIGENTUM 2 . Für jedes Element A Unterfelder S Felder F sein Gegenelement in S fällt zusammen mit−a , d.h. mit seinem Gegenelement in F .

EIGENTUM 3 . Für beliebige Elemente A Und B Unterfelder S Felder F ihre

Unterschied in S fällt zusammen mit a−b diese. mit dem Unterschied dieser Elemente in F .

EIGENTUM 4 . Unterfeldeinheit S Felder F stimmt mit eins überein

e Felder F .

EIGENTUM 5 . Für jedes Element A Unterfelder S Felder F , aus-

persönlich von Null, sein inverses Element in S fällt zusammen mit a−1 , d.h. mit dem Element invers zu A V F .

Zeichen des Unterfeldes.

Satz 1 (das erste Zeichen eines Unterfeldes).

Teilmenge H Felder F mit Operationen+, · , der einen Wert ungleich Null enthält

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

THEOREM2 (zweites Zeichen des Unterfeldes).

Teilmenge H Felder F mit Operationen+, · , der einen Wert ungleich Null enthält

Element ist ein Unterfeld des Feldes(F,+, ·) genau dann, wenn es die folgenden Bedingungen erfüllt:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. Teilbarkeitsrelation im Z-Ring

Aussage: Für alle Elemente a,b,c eines kommutativen Rings auf der Menge R gelten die folgenden Implikationen:

1) a|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (b c)

3) a|b => a|bc

Für jedes a, b Z gilt:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b und b|a ó |a|=|b|

Die ganze Zahl a durch die ganze Zahl b mit dem Rest zu dividieren bedeutet, die ganzen Zahlen q und r zu finden, sodass man a=b*q + r, 0≤r≥|b| darstellen kann, wobei q der unvollständige Quotient und r der Rest ist

Satz: Wenn a und b Z, b≠0, dann kann a mit einem Rest durch b geteilt werden, und der unvollständige Quotient und der Rest sind eindeutig bestimmt.

Folgerung: Wenn a und b Z , b≠0, dann b|a ó

11. GCD und NOC

Der größte gemeinsame Teiler (GCD) der Zahlen Z ist eine Zahl d, die die folgenden Bedingungen erfüllt

1) d ist ein gemeinsamer Teiler, d.h. d| ,d| …d|

2) d ist durch jeden gemeinsamen Teiler von Zahlen teilbar, d.h. d| ,d| …d| =>d| ,d| …d|