रिंगची व्याख्या आणि मूलभूत गुणधर्म. रिंग्ज. फील्ड. रिंग्जचे आदर्श आणि समरूपता. §5. जटिल संख्यांची फील्ड. कॉम्प्लेक्स वर ऑपरेशन्स

व्याख्या 2.5. रिंगम्हणतात बीजगणित

आर = (आर, +, ⋅, 0 , 1 ),

ज्यांच्या स्वाक्षरीमध्ये दोन बायनरी आणि दोन न्युलरी ऑपरेशन्स असतात आणि कोणत्याही a, b, c ∈ R साठी खालील समानता असतात:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a + 0 = a;
4. प्रत्येक a ∈ R साठी a" असा a+a" = एक घटक असतो 0
5. a-(b-c) = (a-b)-c;
6. एक ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a;
7. а⋅(b + с) =а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ а = b⋅а + с⋅а.

ऑपरेशन + म्हणतात अंगठी फोल्ड करणे , ऑपरेशन रिंग गुणाकार , घटक 0 - रिंगचे शून्य , घटक 1 - रिंग युनिट .

व्याख्येमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या समानता 1-7 म्हणतात अंगठीचे स्वयंसिद्ध . संकल्पनेच्या दृष्टिकोनातून या समानतेचा विचार करूया गटआणि मोनोइड.

रिंग स्वयंसिद्ध 1-4 म्हणजे बीजगणित (R, +, 0 ), ज्याच्या स्वाक्षरीमध्ये फक्त रिंग + आणि रिंगच्या शून्य जोडण्याच्या ऑपरेशन्स असतात 0 , आहे अबेलियन गट. या गटाला म्हणतात रिंगचा मिश्रित गट आर आणि ते असेही म्हणतात की जोडणी करून रिंग एक कम्युटेटिव्ह (अबेलियन) गट आहे.

रिंग स्वयंसिद्ध 5 आणि 6 दर्शविते की बीजगणित (R, ⋅, 1), ज्याच्या स्वाक्षरीमध्ये फक्त रिंग ⋅ चा गुणाकार आणि रिंग 1 ची ओळख समाविष्ट आहे, एक मोनोइड आहे. या मोनोइडला म्हणतात रिंग R चे गुणाकार मोनोइड आणि ते म्हणतात की गुणाकाराने रिंग एक मोनोइड आहे.

रिंग जोडणे आणि रिंग गुणाकार यांच्यातील कनेक्शन Axiom 7 द्वारे स्थापित केले जाते, त्यानुसार गुणाकार ऑपरेशन जोडणी ऑपरेशनच्या संदर्भात वितरणात्मक आहे.

वरील बाबी विचारात घेतल्यास, आम्ही लक्षात घेतो की वलय हे दोन बायनरी आणि दोन न्युलरी ऑपरेशन्स असलेले बीजगणित आहे. आर =(आर, +, ⋅, 0 , 1 ), असे की:

1. बीजगणित (R, +, 0 ) - कम्युटेटिव्ह ग्रुप;
2. बीजगणित (R, ⋅, 1 ) - मोनोइड;
3. ऑपरेशन ⋅ (रिंगचा गुणाकार) ऑपरेशन + (रिंग जोडणे) च्या संदर्भात वितरणात्मक आहे.

टिप्पणी 2.2.साहित्यात गुणाकाराशी संबंधित रिंग स्वयंसिद्धांची एक वेगळी रचना आहे. अशा प्रकारे, स्वयंसिद्ध 6 अनुपस्थित असू शकते (तेथे नाही 1 ) आणि स्वयंसिद्ध 5 (गुणाकार सहयोगी नाही). या प्रकरणात, सहयोगी रिंग वेगळे केले जातात (असोसिएटिव्ह गुणाकाराची आवश्यकता रिंगच्या स्वयंसिद्धांमध्ये जोडली जाते) आणि एकतेसह रिंग असतात. नंतरच्या प्रकरणात, गुणाकाराच्या सहवासाची आवश्यकता आणि युनिटचे अस्तित्व जोडले जाते.

व्याख्या 2.6.रिंग म्हणतात बदली , जर त्याची गुणाकार क्रिया कम्युटेटिव्ह असेल.

उदाहरण 2.12. ए.बीजगणित (ℤ, +, ⋅, 0, 1) एक कम्युटेटिव्ह रिंग आहे. लक्षात घ्या की बीजगणित (ℕ 0, +, ⋅, 0, 1) रिंग होणार नाही, कारण (ℕ 0, +) एक कम्युटेटिव्ह मोनोइड आहे, परंतु गट नाही.

bबीजगणित ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (k>1) ⊕ k च्या बेरीज मोड्युलो l आणि ⨀ k (गुणाकार) चा विचार करा मोड्युलो l). नंतरचे हे बेरीज मोड्युलो l च्या ऑपरेशनसारखे आहे: m ⨀ k n हे m ⋅ n या संख्येच्या k ने भागाकाराच्या उर्वरित भागासारखे आहे. हे बीजगणित एक कम्युटेटिव्ह रिंग आहे, ज्याला म्हणतात अवशेषांची रिंग मोड्युलो k.

व्ही.बीजगणित (2 A, Δ, ∩, ∅, A) एक कम्युटेटिव्ह वलय आहे, जे प्रतिच्छेदन आणि संचांच्या सममितीय फरकांच्या गुणधर्मांवरून येते.

जी.नॉन-कम्युटेटिव्ह रिंगचे उदाहरण मॅट्रिक्स बेरीज आणि गुणाकाराच्या क्रियांसह निश्चित क्रमाच्या सर्व चौरस मॅट्रिक्सचा संच देते. या रिंगचे एकक ओळख मॅट्रिक्स आहे आणि शून्य हे शून्य मॅट्रिक्स आहे.

dद्या एल- रेखीय जागा. या जागेत काम करणाऱ्या सर्व रेखीय ऑपरेटरच्या संचाचा विचार करूया.

चला ते आठवूया रक्कमदोन रेखीय ऑपरेटर एआणि INऑपरेटर म्हणतात A + B, असे की ( ए + IN) एक्स = ओह +मध्ये, एक्स∈ एल.

रेखीय ऑपरेटरचे उत्पादन एआणि INरेखीय-रेखीय ऑपरेटर म्हणतात एबी, असे की ( एबी)एक्स = ए(मध्ये) कोणासाठीही एक्स ∈ एल.

रेखीय ऑपरेटर्सवर दर्शविलेल्या ऑपरेशन्सचे गुणधर्म वापरून, आम्ही दाखवू शकतो की स्पेसमध्ये काम करणाऱ्या सर्व रेखीय ऑपरेटरचा संच एल, ऑपरेटर्सच्या बेरीज आणि गुणाकाराच्या ऑपरेशन्ससह, एक रिंग बनवते. या रिंगचे शून्य आहे शून्य ऑपरेटर, आणि युनिटनुसार - ओळख ऑपरेटर.

या रिंगला म्हणतात रेखीय ऑपरेटरची रिंग रेखीय जागेत L. #

रिंग स्वयंसिद्ध देखील म्हणतात अंगठीची मूलभूत ओळख . रिंग ओळख ही एक समानता आहे ज्याची वैधता जतन केली जाते जेव्हा रिंगचे कोणतेही घटक त्यात दिसणाऱ्या व्हेरिएबल्ससाठी बदलले जातात. मूलभूत ओळखी निश्चित केल्या जातात आणि त्यांच्यापासून इतर ओळखी नंतर परिणाम म्हणून काढल्या जाऊ शकतात. त्यापैकी काही पाहू.

लक्षात ठेवा की रिंगचा ॲडिटीव्ह ग्रुप कम्युटेटिव्ह आहे आणि त्यात ऑपरेशन परिभाषित केले आहे वजाबाकी.

प्रमेय 2.8.कोणत्याही रिंगमध्ये खालील ओळखी असतात:

1. 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 ;
2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀चला ओळख सिद्ध करूया 0 ⋅ a = 0 . चला अनियंत्रित साठी लिहूया:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

तर, a + 0 ⋅ a = a. शेवटची समानता अज्ञात घटकाच्या संदर्भात रिंगच्या ॲडिटीव्ह ग्रुपमधील समीकरण मानली जाऊ शकते. 0 ⋅ अ. ॲडिटिव्ह ग्रुपमध्ये a + x = b फॉर्मच्या कोणत्याही समीकरणाचे अनन्य समाधान x = b - a असते, तर 0 ⋅ a = a - a = 0 . ओळख a⋅ 0 = 0 त्याच प्रकारे सिद्ध केले आहे.

आता ओळख सिद्ध करूया - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). आमच्याकडे आहे

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

कुठून a ⋅ (-b) = -(a ⋅ b). त्याच प्रकारे, कोणी सिद्ध करू शकतो की (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

ओळखीची तिसरी जोडी सिद्ध करूया. त्यापैकी पहिल्याचा विचार करूया. वर जे सिद्ध झाले ते लक्षात घेऊन, आमच्याकडे आहे

a ⋅ (b - c) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

त्या ओळख खरी आहे. या जोडीची दुसरी ओळखही अशाच प्रकारे सिद्ध झाली आहे.

परिणाम 2.1. कोणत्याही रिंगमध्ये ओळख ( -1 ) ⋅ x = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀ दर्शविलेले परिणाम प्रमेय 2.8 च्या दुसऱ्या ओळखीवरून येते = 1 आणि b = x.

प्रमेय 2.8 मध्ये सिद्ध झालेल्या पहिल्या दोन ओळखी एक गुणधर्म व्यक्त करतात शून्याचा गुणधर्म रद्द करणे रिंग मध्ये या प्रमेयाच्या ओळखीची तिसरी जोडी वजाबाकीच्या ऑपरेशनच्या संदर्भात रिंगच्या गुणाकाराच्या ऑपरेशनची वितरणात्मक गुणधर्म व्यक्त करते. अशा प्रकारे, कोणत्याही रिंगमध्ये गणना करताना, आपण कंस उघडू शकता आणि वास्तविक संख्या जोडणे, वजाबाकी आणि गुणाकार केल्याप्रमाणे चिन्हे बदलू शकता.

रिंगचे शून्य घटक a आणि b आरम्हणतात विभाजक शून्य , a ⋅ b = असल्यास 0 किंवा b ⋅ a = 0 . शून्य विभाजक असलेल्या रिंगचे उदाहरण कोणतेही देते मोड्युलो अवशेष रिंग k जर k ही संमिश्र संख्या असेल. या प्रकरणात, सामान्य गुणाकार दरम्यान k च्या गुणाकार देणाऱ्या कोणत्याही प्रकारच्या k चे उत्पादन मोड्यूलो शून्य असेल. उदाहरणार्थ, अवशेष रिंग मोड्युलो 6 मध्ये, घटक 2 आणि 3 हे शून्य विभाजक आहेत, कारण 2 ⨀ 6 3 = 0. दुसरे उदाहरण निश्चित क्रमाच्या (किमान दोन) चौरस मॅट्रिक्सच्या रिंगद्वारे दिले जाते. उदाहरणार्थ, आमच्याकडे सेकंड-ऑर्डर मॅट्रिक्ससाठी

जेव्हा a आणि b शून्य नसतात, तेव्हा दिलेले मॅट्रिक्स शून्य विभाजक असतात.

गुणाकाराने, अंगठी फक्त एक मोनोइड असते. चला प्रश्न विचारूया: कोणत्या प्रकरणांमध्ये गुणाकार रिंग एक गट असेल? सर्व प्रथम, लक्षात घ्या की अंगठीच्या सर्व घटकांचा संच ज्यामध्ये 0 ≠ 1 , गुणाकार गट तयार करू शकत नाही, कारण शून्यामध्ये व्यस्त असू शकत नाही. खरंच, जर आपण असे गृहीत धरले की असा घटक 0" अस्तित्वात आहे, तर, एकीकडे, 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , आणि दुसरीकडे - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , ज्यातून 0 = 1. हे अटीला विरोध करते 0 ≠ 1 . अशाप्रकारे, वर विचारलेला प्रश्न खालीलप्रमाणे परिष्कृत केला जाऊ शकतो: कोणत्या प्रकरणांमध्ये रिंगच्या सर्व शून्य-नसलेल्या घटकांचा संच गुणाकाराखाली एक गट तयार करतो?

जर रिंगमध्ये शून्य विभाजक असतील, तर रिंगच्या सर्व गैर-शून्य घटकांचा उपसंच गुणाकार गट तयार करत नाही, जर हा उपसंच गुणाकार ऑपरेशन अंतर्गत बंद केलेला नसेल, म्हणजे. शून्य नसलेले घटक आहेत ज्यांचे उत्पादन शून्य इतके आहे.

ज्या रिंगमध्ये शून्य नसलेल्या सर्व घटकांचा गुणाकार करून समूह तयार होतो त्याला वलय म्हणतात शरीर , बदली शरीर - फील्ड , आणि गुणाकाराने शरीराच्या (फील्ड) शून्य नसलेल्या घटकांचा समूह - गुणाकार गट हे शरीर (फील्ड). व्याख्येनुसार, फील्ड हे अंगठीचे एक विशेष प्रकरण आहे ज्यामध्ये ऑपरेशन्समध्ये अतिरिक्त गुणधर्म असतात. फील्ड ऑपरेशन्ससाठी आवश्यक असलेले सर्व गुणधर्म लिहू. त्यांनाही म्हणतात फील्ड स्वयंसिद्ध .

फील्ड बीजगणित F = (F, +, ⋅, 0, 1) आहे, ज्याच्या स्वाक्षरीमध्ये दोन बायनरी आणि दोन शून्य क्रिया असतात आणि ओळख वैध आहेत:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a+0 = a;
4. प्रत्येक a ∈ F साठी एक घटक असतो -a असे की a+ (-a) = 0;
5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
6. a ⋅ b = b ⋅ a
7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
8. प्रत्येक a ∈ F साठी 0 पेक्षा भिन्न, एक घटक a -1 आहे जसे की a ⋅ a -1 = 1;
9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

उदाहरण 2.13. ए.बीजगणित (ℚ, +, ⋅, 0, 1) हे क्षेत्र म्हणतात परिमेय संख्यांचे क्षेत्र .

b बीजगणित (ℝ, +, ⋅, 0, 1) आणि (ℂ, +, ⋅, 0, 1) फील्ड म्हणतात. वास्तविक आणि जटिल संख्यांची फील्ड अनुक्रमे

व्ही. फील्ड नसलेल्या शरीराचे उदाहरण म्हणजे बीजगणित चतुर्थांश . #

म्हणून, आपण पाहतो की फील्ड स्वयंसिद्ध संख्यांच्या बेरीज आणि गुणाकाराच्या ज्ञात नियमांशी सुसंगत आहेत. संख्यात्मक गणना करताना, आम्ही "फील्डमध्ये काम करतो", म्हणजे, आम्ही प्रामुख्याने परिमेय आणि वास्तविक संख्यांच्या फील्डसह व्यवहार करतो, कधीकधी आम्ही जटिल संख्यांच्या फील्डमध्ये "हलवतो".

ज्याला एकक म्हणतात एक सह रिंग . एकक सामान्यत: "1" या संख्येने (जे समान नावाच्या संख्येचे गुणधर्म प्रतिबिंबित करते) किंवा कधीकधी (उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स बीजगणित) लॅटिन अक्षर I किंवा E द्वारे नियुक्त केले जाते.

बीजगणितीय वस्तूंच्या विविध व्याख्येसाठी एकतर घटकाची उपस्थिती आवश्यक असू शकते किंवा त्यास पर्यायी घटक म्हणून सोडा. एकतर्फी तटस्थ घटकाला एकक म्हटले जात नाही. दोन बाजूंच्या तटस्थ घटकाच्या सामान्य गुणधर्मामध्ये युनिट अद्वितीय आहे.

काहीवेळा रिंगच्या युनिट्सना त्याचे इन्व्हर्टेबल घटक म्हणतात, ज्यामुळे गोंधळ होऊ शकतो.

एक, शून्य आणि श्रेणी सिद्धांत

एकक हा रिंगचा एकमेव घटक आहे जो इडम्पोटंट आणि इन्व्हर्टेबल दोन्ही आहे.

उलटसुलभता

उलट करण्यायोग्यएकता असलेल्या रिंगचा कोणताही घटक u जो एकतेचा द्वि-बाजू असलेला विभाजक असतो, त्याला म्हणतात:

गुणाकाराची संगती आणि कम्युटेटिव्हिटी यासारखे गुणधर्म राखताना. घटक 1 विस्तारित बीजगणिताचे एकक असेल. जर बीजगणितात आधीच एक एकक असेल तर विस्तारानंतर ते अपरिवर्तनीय इडम्पोटंटमध्ये बदलेल.

हे रिंगसह देखील केले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, कारण प्रत्येक रिंग एक सहयोगी बीजगणित आहे

घटकाचा क्रम a म्हणतात. जर असे n अस्तित्वात नसेल, तर घटक a ला अनंत क्रमाचा घटक म्हणतात.

प्रमेय 2.7 (फर्मॅटचे छोटे प्रमेय). जर G आणि G एक मर्यादित गट असेल तर |G| = ई

आम्ही पुराव्याशिवाय मान्य करू.

लक्षात ठेवा की प्रत्येक गट G, ° हे एका बायनरी ऑपरेशनसह बीजगणित आहे ज्यासाठी तीन अटी समाधानी आहेत, उदा. समूहाचे सूचित स्वयंसिद्ध.

G 1 , ° हा समूह असल्यास उपसमूह म्हणतात.

हे सिद्ध केले जाऊ शकते की संच G चा रिक्त नसलेला उपसमूह G 1 हा G गटाचा उपसमूह आहे, ° जर आणि फक्त जर संच G 1, a आणि b कोणत्याही घटकांसह, घटक a ° b -1 असेल. .

खालील प्रमेय सिद्ध करता येईल.

प्रमेय 2.8. चक्रीय गटाचा उपसमूह चक्रीय असतो.

§ 7. दोन ऑपरेशन्ससह बीजगणित. रिंग

दोन बायनरी क्रियांसह बीजगणितांचा विचार करू.

रिंग हा रिकाम्या नसलेला R आहे ज्यावर + आणि ° या दोन बायनरी ऑपरेशन्स, ज्याला बेरीज आणि गुणाकार म्हणतात, अशा प्रकारे सादर केले जातात:

1) आर; + एक अबेलियन गट आहे;

2) गुणाकार सहयोगी आहे, म्हणजे च्या साठी a,b,c R: (a ° b °) ° c=a ° (b ° c);

3) गुणाकार हे बेरीज सापेक्ष वितरक आहे, उदा. च्या साठी

a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(a° c) आणि (a +b)° c= (a° c)+(b° c).

a,b R साठी: a ° b=b ° a असल्यास रिंगला कम्युटेटिव्ह म्हणतात.

आम्ही R म्हणून रिंग लिहितो; +, °.

R हा बेरीज अंतर्गत एक अबेलियन (कम्युटेटिव्ह) गट असल्याने, त्यात एक जोड एकक आहे, जे 0 किंवा θ ने दर्शवले जाते आणि शून्य म्हणतात. R चा जोडणारा व्युत्क्रम -a द्वारे दर्शविला जातो. शिवाय, कोणत्याही रिंग R मध्ये आमच्याकडे आहे:

0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.

मग आम्हाला ते मिळते

x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 x R साठी; x° y=(x + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 y R साठी.

तर, आम्ही दाखवले आहे की x R साठी: x ° 0 = 0 ° x = 0. तथापि, समानतेवरून x ° y = 0 हे x = 0 किंवा y = 0 चे अनुसरण करत नाही. हे उदाहरणासह दाखवूया. .

उदाहरण. इंटरव्हलवर सतत फंक्शन्सच्या संचाचा विचार करू. या फंक्शन्ससाठी बेरीज आणि गुणाकाराच्या नेहमीच्या ऑपरेशन्सचा परिचय करून देऊ या: f(x)+ ϕ (x) आणि f(x) · ϕ (x) . पाहणे सोपे आहे, आम्हाला एक अंगठी मिळते, जी सी द्वारे दर्शविली जाते. अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या f(x) आणि ϕ (x) फंक्शनचा विचार करा. २.३. मग आपल्याला ते f(x) ≡ / 0 आणि ϕ (x) ≡ / 0 मिळेल, परंतु f(x) ϕ (x) ≡0.

आम्ही सिद्ध केले की गुणाकारांपैकी एक जर शून्याच्या बरोबरीचा असेल तर उत्पादन शून्य आहे: एक ° 0 = 0 एक R साठी आणि उदाहरणाद्वारे दाखवले की ≠ 0 आणि b ≠ 0 साठी ° b= 0 असू शकते.

जर रिंग R मध्ये आपल्याकडे a ° b= 0 असेल, तर a ला डावीकडे आणि b ला शून्याचा उजवा विभाजक म्हणतात. आम्ही 0 हा घटक शून्याचा क्षुल्लक विभाजक मानतो.

क्षुल्लक शून्य विभाजक व्यतिरिक्त शून्य विभाजक नसलेल्या कम्युटेटिव्ह रिंगला अविभाज्य रिंग किंवा अखंडता क्षेत्र म्हणतात.

ते पाहणे सोपे आहे

0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y

आणि म्हणून x ° (-y)=(-x) ° y हा x° y घटकाचा व्यस्त आहे, म्हणजे.

x ° (-y) = (-x)° y = -(x ° y)

त्याचप्रमाणे, (- x) ° (- y) = x ° y हे दाखवले जाऊ शकते.

§ 8. एकता सह रिंग

जर रिंग R मध्ये गुणाकाराच्या संदर्भात एकक असेल, तर हे गुणाकार एकक 1 ने दर्शविले जाते.

गुणाकार एकक (ॲडिटिव्ह युनिटसारखे) अद्वितीय आहे हे सिद्ध करणे सोपे आहे. R चा गुणाकार व्यस्त (गुणाकाराचा व्यस्त) a-1 ने दर्शविला जाईल.

प्रमेय 2.9. घटक 0 आणि 1 हे शून्य रिंग R चे वेगळे घटक आहेत.

पुरावा. R मध्ये फक्त 0 नाही असू द्या. मग ≠ 0 साठी आपल्याकडे a° 0= 0 आणि a° 1= a ≠ 0 आहे, ज्याचा अर्थ 0 ≠ 1 आहे, कारण जर 0= 1 असेल, तर त्यांची a वरील उत्पादने जुळतील.

प्रमेय 2.10. ऍडिटीव्ह युनिट, म्हणजे. 0, कोणतेही गुणाकार व्यस्त नाही.

पुरावा. а R साठी а° 0 = 0° а = 0 ≠ 1 . अशा प्रकारे, नॉनझिरो रिंग कधीही गुणाकाराखालील गट होणार नाही.

रिंग R चे वैशिष्ट्य म्हणजे सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या k

सर्व a R साठी a + a + ... + a = 0 . अंगठीची वैशिष्ट्ये

k - वेळा

लिहिलेले k=char R. निर्दिष्ट संख्या k अस्तित्वात नसल्यास, आपण char R= 0 सेट करतो.

Z हा सर्व पूर्णांकांचा संच असू द्या;

Q – सर्व परिमेय संख्यांचा संच;

आर - सर्व वास्तविक संख्यांचा संच; C हा सर्व जटिल संख्यांचा संच आहे.

बेरीज आणि गुणाकाराच्या नेहमीच्या क्रियांसह Z, Q, R, C संचांपैकी प्रत्येक एक रिंग आहे. या रिंग कम्युटेटिव्ह आहेत, ज्याचे गुणाकार एकक क्रमांक 1 च्या बरोबरीचे आहे. या रिंगांना कोणतेही शून्य विभाजक नाहीत, म्हणून ते अखंडतेचे डोमेन आहेत. या प्रत्येक रिंगचे वैशिष्ट्य शून्य आहे.

फंक्शन्सची रिंग ऑन (रिंग C) सतत चालणारी एक गुणाकार एकक असलेली एक रिंग देखील आहे, जी एक ऑनच्या बरोबरीच्या फंक्शनशी एकरूप आहे. या रिंगमध्ये शून्य विभाजक आहेत, म्हणून तो अखंडता प्रदेश नाही आणि चार C= 0 आहे.

आणखी एक उदाहरण पाहू. M हा रिक्त नसलेला संच असू द्या आणि R = 2M हा संच M च्या सर्व उपसंचांचा संच असू द्या. R वर दोन क्रिया सादर करू या: सममितीय फरक A + B = A B (ज्याला आपण जोड म्हणू) आणि छेदनबिंदू (ज्याला आपण जोडू. गुणाकार कॉल करेल). आपण प्राप्त केले याची खात्री करू शकता

युनिटसह रिंग; या रिंगचे बेरीज एकक असेल, आणि रिंगचे गुणाकार एकक M हा संच असेल. या रिंगसाठी कोणत्याही A, A R साठी, आमच्याकडे आहे: A+ A = A A=. म्हणून, charR = 2.

§ 9. फील्ड

फील्ड एक कम्युटेटिव्ह रिंग आहे ज्याचे शून्य नसलेले घटक गुणाकार अंतर्गत एक कम्युटेटिव्ह गट तयार करतात.

सर्व स्वयंसिद्धांची यादी करून फील्डची थेट व्याख्या देऊ.

फील्ड म्हणजे "+" आणि "°" या दोन बायनरी ऑपरेशन्स असलेला संच P आहे, ज्याला बेरीज आणि गुणाकार म्हणतात, जसे की:

1) व्यतिरिक्त आहे associative: साठी a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;

2) additive युनिट अस्तित्वात आहे: 0 P, ते P साठी: a+0 =0 +a=a;

3) जोडण्यासाठी एक व्यस्त घटक आहे: साठी a P (-a) P:

(-a)+a=a+(-a)=0;

4) बेरीज कम्युटेटिव्ह आहे: साठी a, b P: a+b=b+a ;

(स्वयंसिद्ध 1 - 4 म्हणजे फील्ड हा ॲबेलियन गट आहे जो बेरीज अंतर्गत आहे);

5) गुणाकार सहयोगी आहे: साठी a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;

6) एक गुणाकार एकक आहे: 1पी, जे पी साठी:

1° a=a° 1 =a;

7) कोणत्याही शून्य नसलेल्या घटकासाठी(a ≠ 0) गुणाकाराचा एक व्यस्त घटक आहे: P साठी, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;

8) गुणाकार कम्युटेटिव्ह आहे: साठी a,b P: a ° b=b ° a ;

(स्वयंसिद्ध 5 – 8 म्हणजे शून्य घटक नसलेले क्षेत्र गुणाकार अंतर्गत एक कम्युटेटिव्ह गट बनवते);

9) गुणाकार हे बेरीज सापेक्ष वितरणात्मक आहे: साठी a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).

उदाहरण फील्ड:

1) आर;+, - वास्तविक संख्यांचे क्षेत्र;

2) Q;+, - परिमेय संख्यांचे क्षेत्र;

3) C;+, - जटिल संख्यांचे क्षेत्र;

4) P 2 = (0,1) द्या. ठरवूया की 1 +2 0=0 +2 1=1,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. नंतर F 2 = P 2 ;+ 2 हे फील्ड आहे आणि त्याला बायनरी अंकगणित म्हणतात.

प्रमेय 2.11. जर ≠ 0 असेल, तर a° x=b हे समीकरण फील्डमध्ये अनन्यपणे सोडवता येण्यासारखे आहे.

पुरावा. a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b

भाष्य: या व्याख्यानात वलयांच्या संकल्पनांची चर्चा केली आहे. रिंग घटकांची मूलभूत व्याख्या आणि गुणधर्म दिले आहेत, आणि सहयोगी रिंगांचा विचार केला जातो. अनेक वैशिष्ट्यपूर्ण समस्यांचा विचार केला जातो, मुख्य प्रमेये सिद्ध होतात आणि स्वतंत्र विचारासाठी समस्या दिल्या जातात

रिंग्ज

दोन बायनरी क्रियांसह (ॲडिशन + आणि गुणाकार) सेट R म्हणतात युनिटसह सहयोगी रिंग, तर:

जर गुणाकार क्रिया कम्युटेटिव्ह असेल तर रिंग म्हणतात बदलीअंगठी कम्युटेटिव्ह बीजगणित आणि बीजगणितीय भूमितीमध्ये कम्युटेटिव्ह रिंग्स हा अभ्यासाचा मुख्य विषय आहे.

टिपा 1.10.1.

उदाहरणे 1.10.2 (सहयोगी रिंगची उदाहरणे).

आपण आधीच पाहिले आहे की अवशेषांचा समूह (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, अतिरिक्त ऑपरेशनसह modulo n, एक कम्युटेटिव्ह गट आहे (उदाहरण 1.9.4, 2) पहा).

सेट करून गुणाकार क्रिया परिभाषित करूया. चला या ऑपरेशनची शुद्धता तपासूया. जर C k =C k" , C l =C l" , तर k"=k+nu , l"=l+nv , आणि म्हणून C k"l" =C kl.

कारण (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, नंतर एकक C 1 अवशेष रिंग मॉड्यूलो n सह एक सहयोगी कम्युटेटिव्ह रिंग आहे).

रिंग्जचे गुणधर्म (R,+,.)

लेमा 1.10.3 (न्यूटनचे द्विपद). R ला 1 , , ची रिंग असू द्या. मग:

पुरावा.

व्याख्या 1.10.4. रिंग R चा उपसंच S म्हणतात subring, तर:

a) S हा समूह (R,+) मध्ये जोडण्याच्या संदर्भात उपसमूह आहे;

ब) आमच्याकडे आहे;

c) 1 सह रिंग R साठी असे गृहीत धरले जाते.

उदाहरणे 1.10.5 (सबरिंगची उदाहरणे).

समस्या 1.10.6. अवशेष रिंग Zn modulo n मधील सर्व सबरिंग्सचे वर्णन करा.

टीप 1.10.7. Z 10 च्या रिंगमध्ये, 5 च्या पटीत असलेले घटक 1 सह रिंग बनवतात, जे Z 10 मध्ये सबरिंग नाही (या रिंगमध्ये भिन्न युनिट घटक असतात).

व्याख्या 1.10.8. जर R ही रिंग असेल आणि , , ab=0 असेल, तर घटक a ला R मध्ये डावा शून्य विभाजक म्हणतात, b ला R मध्ये उजवा शून्य विभाजक म्हणतात.

टीप 1.10.9. कम्युटेटिव्ह रिंगमध्ये, अर्थातच, डाव्या आणि उजव्या शून्य विभाजकांमध्ये फरक नाही.

उदाहरण 1.10.10. Z, Q, R मध्ये शून्य विभाजक नाहीत.

उदाहरण 1.10.11. सतत फंक्शन्स C च्या रिंगमध्ये शून्य विभाजक असतात. खरंच, जर

उदाहरण 1.10.12. जर n=kl, 1

लेमा 1.10.13. R रिंगमध्ये (डावीकडे) शून्य विभाजक नसल्यास ab=ac वरून, कोठे , , ते b=c (म्हणजे, डावीकडील शून्य विभाजक नसल्यास डावीकडील शून्य-नसलेल्या घटकाद्वारे रद्द करण्याची क्षमता; आणि उजवीकडे उजवे शून्य विभाजक नसल्यास) अनुसरण करते.

पुरावा. ab=ac असल्यास, a(b-c)=0. a हा डावा शून्य विभाजक नसल्यामुळे, b-c=0, म्हणजे b=c.

व्याख्या 1.10.14. घटक म्हणतात शक्तिशाली, काहींसाठी x n =0 असल्यास . सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या n म्हणतात घटकाची शून्य क्षमता .

हे स्पष्ट आहे की निलपोटेंट घटक हा शून्य विभाजक आहे (जर n>1 असेल तर , ). परस्पर विधान सत्य नाही (Z 6 मध्ये कोणतेही शून्य घटक नाहीत, परंतु 2, 3, 4 हे शून्याचे नॉन-झिरो विभाजक आहेत).

व्यायाम 1.10.15. जर n ला m 2 ने विभाज्य असेल तरच Z n या रिंगमध्ये शून्य शक्तीचे घटक असतात, जेथे , .

व्याख्या 1.10.16. रिंग R चा एक घटक x म्हणतात अशक्त, जर x 2 = x . हे स्पष्ट आहे की 0 2 =0, 1 2 =1. जर x 2 =x आणि , तर x(x-1)=x 2 -x=0, आणि म्हणून नॉन-ट्रिव्हियल इडम्पोटंट हे शून्य विभाजक आहेत.

U(R) द्वारे आम्ही सहयोगी रिंग R च्या उलट न करता येण्याजोग्या घटकांचा संच दर्शवितो, म्हणजे ज्यासाठी s=r -1 (म्हणजे rr -1 =1=r -1 r ) एक व्यस्त घटक आहे.

(K,+, ·) एक रिंग असू द्या. (K, +) हा अबेलियन गट असल्याने, आम्ही मिळविलेल्या गटांचे गुणधर्म विचारात घेऊन

NE-VO 1. प्रत्येक रिंगमध्ये (K,+, ·) एक अद्वितीय शून्य घटक 0 असतो आणि प्रत्येक a ∈ K साठी त्याच्या विरुद्ध एक अद्वितीय घटक असतो -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. K रिंग मधील कोणत्याही a, b ∈ K साठी a − b, आणि a − b = a + (−b) एक अद्वितीय फरक आहे. अशा प्रकारे, वजाबाकीची क्रिया K रिंगमध्ये परिभाषित केली जाते आणि त्यात 1′-8′ गुणधर्म आहेत.

SV-VO 4. K मधील गुणाकार क्रिया वजाबाकीच्या संदर्भात वितरणात्मक आहे, उदा. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

डॉ. चला a, b, c ∈ K. ऑपरेशनची वितरणक्षमता · K मध्ये ऑपरेशनच्या संदर्भात + आणि रिंगच्या घटकांच्या फरकाची व्याख्या लक्षात घेऊन, आम्हाला (a − b)c + bc = ( (a − b) + b)c = ac, जेथून व्याख्येतील फरकानुसार ते खालीलप्रमाणे आहे (a − b)c = ac − bc.

वजाबाकीच्या क्रियेच्या सापेक्ष गुणाकार क्रियेच्या वितरणाचा योग्य नियम अशाच प्रकारे सिद्ध होतो.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

पुरावा. K वरून a ∈ K आणि b- अनियंत्रित घटक समजा. नंतर b − b = 0 आणि म्हणून, मागील गुणधर्म लक्षात घेऊन, आम्हाला a0 = a(b − b) = ab − ab = 0 मिळेल.

0a = 0 हे त्याच प्रकारे सिद्ध होते.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

पुरावा. चला a, b ∈ K. नंतर (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. म्हणून, (−a)b = −(ab).

समानता a(−b) = −(ab) अशाच प्रकारे सिद्ध होते.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

पुरावा. खरंच, मागील गुणधर्म दोनदा लागू केल्याने आपल्याला (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab मिळते.

टिप्पणी. गुणधर्म 6 आणि 7 ला रिंगमधील चिन्हांचे नियम म्हणतात.

बेरीज ऑपरेशन आणि गुणधर्म 6 आणि 7 च्या सापेक्ष रिंग K मधील गुणाकार ऑपरेशनच्या वितरणातून, खालील गोष्टी आहेत:

SV-VO 8. k, l हे अनियंत्रित पूर्णांक असू द्या. नंतर ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

Subring

रिंगचे सबरिंग (K,+, ·) हे K संच K चा उपसंच आहे जो ऑपरेशन्स + आणि · K मध्ये परिभाषित केला आहे आणि या ऑपरेशन्स अंतर्गत स्वतः एक रिंग आहे.

सबरिंग्सची उदाहरणे:

अशाप्रकारे, Z हे रिंगचे सबरिंग आहे (Q,+, ·), Q हे रिंगचे सबरिंग आहे (R,+, ·), Rn×n हे रिंगचे सबरिंग आहे (Cn×n,+, ·) , Z[x] हे रिंगचे एक सबरिंग आहे ( R[x],+, ·), D हे रिंगचे सबरिंग आहे (C,+, ·).

कोणत्याही रिंगमध्ये (K,+, ·), सेट K स्वतः, तसेच सिंगलटन उपसंच (0) हे रिंगचे (K,+, ·) सबरिंग आहेत. हे रिंगचे तथाकथित क्षुल्लक सबरिंग आहेत (K,+, ·).

सबरिंग्सचे सर्वात सोपे गुणधर्म.

H ला रिंगचे सबरिंग समजा (K,+, ·), म्हणजे. (H,+, ·) स्वतःच एक रिंग आहे. याचा अर्थ असा की तो एक (एच, +) गट आहे, म्हणजे. H हा समूहाचा उपसमूह आहे (K, +). म्हणून, खालील विधाने सत्य आहेत.

SV-VO 1. रिंग K च्या सबरिंग H चा शून्य घटक K रिंगच्या शून्य घटकाशी एकरूप होतो.

SV-VO 2. रिंग K च्या सबरिंग H च्या कोणत्याही घटक a साठी, H मधील त्याचा विरुद्ध घटक −a शी एकरूप होतो, म्हणजे. K मध्ये त्याच्या विरुद्ध घटकासह.

SV-VO 3. सबरिंग H च्या a आणि b कोणत्याही घटकांसाठी, H मधील त्यांचा फरक a − b या घटकाशी एकरूप होतो, म्हणजे. K मधील या घटकांच्या फरकासह.

सबरिंगची चिन्हे.

थ्योरेम 1 (सबरिंगचे पहिले चिन्ह).

ऑपरेशन्स + आणि · सह रिंग K चा नॉन-रिक्त उपसंच H हे रिंग K चे सबरिंग आहे जर आणि फक्त जर ते खालील अटी पूर्ण करत असेल:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

गरज. H हे रिंगचे सबरिंग असू द्या (K,+, ·). मग H हा समूहाचा उपसमूह आहे (K, +). म्हणून, उपसमूहाच्या पहिल्या निकषानुसार (ॲडिटिव्ह फॉर्म्युलेशनमध्ये), H अटी (1) आणि (2) पूर्ण करतो. शिवाय, K मध्ये परिभाषित केलेल्या गुणाकार ऑपरेशन अंतर्गत H बंद आहे, म्हणजे. एच

स्थिती देखील पूर्ण करते (3).

पर्याप्तता.समजा H ⊂ K, H 6= ∅ आणि H अटी पूर्ण करतात (1) − (3). अटींवरून (1) आणि (2) उपसमूहाच्या पहिल्या निकषानुसार असे दिसून येते की H हा समूहाचा एक उपसमूह आहे (K, +), म्हणजे. (एच, +) गट. शिवाय, (K, +) हा अबेलियन गट असल्याने, (H, +) देखील अबेलियन आहे. याशिवाय, स्थिती (३) वरून असे दिसून येते की गुणाकार हे H संचावरील बायनरी ऑपरेशन आहे. ऑपरेशनची सहयोगीता · H मध्ये आणि ऑपरेशनच्या संदर्भात त्याची वितरणता + ऑपरेशन्स + आणि · K मध्ये असे गुणधर्म आहेत.

थ्योरेम 2 (सबरिंगचे दुसरे चिन्ह).

ऑपरेशन्स + आणि · सह रिंग K चा रिक्त नसलेला उपसंच H आहे

रिंग K t आणि t, जेव्हा ते खालील अटी पूर्ण करते:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

या प्रमेयाचा पुरावा प्रमेय १ च्या पुराव्यासारखाच आहे.

या प्रकरणात, प्रमेय 2′ (ॲडिटिव्ह फॉर्म्युलेशनमधील उपसमूहाचा दुसरा निकष) आणि त्यावर टिप्पणी वापरली जाते.

7.फील्ड (व्याख्या, प्रकार, गुणधर्म, वैशिष्ट्ये).

फील्ड ही ओळख असलेली बदली रिंग आहे e 0 च्या समान नाही , ज्यामध्ये शून्यापेक्षा भिन्न असलेल्या प्रत्येक घटकाला व्युत्क्रम असतो.

संख्या फील्डची उत्कृष्ट उदाहरणे फील्ड (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) आहेत.

मालमत्ता 1 . प्रत्येक क्षेत्रातएफ आकुंचन कायदा वैध आहे

शून्यापेक्षा भिन्न सामान्य घटकाद्वारे, म्हणजे

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a समान नाही 0 ⇒ b = c).

मालमत्ता 2 . प्रत्येक क्षेत्रातएफ शून्य विभाजक नाहीत.

मालमत्ता 3 . रिंग(के,+, ·) जर आणि फक्त फील्ड आहे

जेव्हा बरेच असतात K\(0) गुणाकाराच्या ऑपरेशनच्या संदर्भात एक कम्युटेटिव्ह गट आहे.

मालमत्ता ४ . मर्यादित नॉनझिरो कम्युटेटिव्ह रिंग(के,+, ·) शून्य विभाजक हे क्षेत्र आहे.

फील्ड घटकांचा भागफल.

(F,+, ·) फील्ड असू द्या.

आंशिक घटक a आणि b फील्डएफ , कुठे b 0 च्या समान नाही ,

अशा घटकाला म्हणतात c ∈ F , काय a = bc .

मालमत्ता 1 . कोणत्याही घटकांसाठी a आणि b फील्डएफ , कुठे b 0 च्या समान नाही , एक अद्वितीय भाग आहे a/b , आणि a/b= ab−1.

मालमत्ता 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a = e आणि∀ a ∈ F a/e = a.

मालमत्ता 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

मालमत्ता ४ . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

मालमत्ता 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

मालमत्ता 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

मालमत्ता 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

मालमत्ता 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

फील्डएफ , ज्याच्या युनिटला मर्यादित क्रम आहे p गटात(F, +) p .

फील्डएफ एकक, ज्याचा गटामध्ये अमर्याद क्रम आहे(F, +) , वैशिष्ट्यपूर्ण क्षेत्र म्हणतात 0.

8. सबफिल्ड (व्याख्या, प्रकार, गुणधर्म, वैशिष्ट्ये)

फील्ड सबफिल्ड(F,+, ·) उपसंच म्हणतातएस सेटएफ , जे ऑपरेशन अंतर्गत बंद आहे+ आणि· , मध्ये परिभाषितएफ , आणि स्वतः या ऑपरेशन्सशी संबंधित फील्ड आहे.

फील्डच्या Q-सबफिल्ड (R,+, ·) सबफिल्डची काही उदाहरणे देऊ.

फील्डचे आर-सबफिल्ड (C,+, ·);

खालील विधाने सत्य आहेत.

मालमत्ता 1 . सबफिल्ड घटक शून्यएस फील्डएफ सह जुळते

फील्डचा शून्य घटकएफ .

मालमत्ता 2 . प्रत्येक घटकासाठी a उपक्षेत्रेएस फील्डएफ मध्ये त्याचा विरुद्ध घटकएस सह जुळते-a , म्हणजे मध्ये त्याच्या विरुद्ध घटकासहएफ .

मालमत्ता 3 . कोणत्याही घटकांसाठी a आणि b उपक्षेत्रेएस फील्डएफ त्यांचे

मध्ये फरकएस सह जुळते a−b त्या मध्ये या घटकांच्या फरकासहएफ .

मालमत्ता ४ . सबफिल्ड युनिटएस फील्डएफ एकाशी जुळते

e फील्डएफ .

मालमत्ता 5 . प्रत्येक घटकासाठी a उपक्षेत्रेएस फील्डएफ , पासून-

शून्य पासून वैयक्तिक, मध्ये त्याचा व्यस्त घटकएस सह जुळते a−1 , म्हणजे च्या उलट घटकासह a व्हीएफ .

उपक्षेत्राची चिन्हे.

प्रमेय १ (सबफिल्डचे पहिले चिन्ह).

उपसंचएच फील्डएफ ऑपरेशन्ससह+, · , शून्य नसलेले

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

थ्योरेम2 (उपक्षेत्राचे दुसरे चिन्ह).

उपसंचएच फील्डएफ ऑपरेशन्ससह+, · , शून्य नसलेले

घटक हे फील्डचे उपक्षेत्र आहे(F,+, ·) जर आणि फक्त जर ते खालील अटी पूर्ण करत असेल तर:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. रिंग Z मध्ये विभाज्यता संबंध

विधान: संच R वरील कम्युटेटिव्ह रिंगच्या कोणत्याही घटकांसाठी a,b,c, खालील परिणाम धारण करतात:

1) a|b, b|c => a|c

२) a|b, a|c => a| (b c)

3) a|b => a|bc

कोणत्याही a, b Z साठी खालील सत्य आहे:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b आणि b|a ó |a|=|b|

पूर्णांक a ला पूर्णांक b ने उर्वरित भागाकारणे म्हणजे q आणि r पूर्णांक शोधणे म्हणजे आपण a=b*q + r, 0≤r≥|b| दर्शवू शकता, जेथे q हा अपूर्ण भागफल आहे, r हा उरलेला भाग आहे.

प्रमेय: जर a आणि b Z, b≠0, तर a ला b ने भागाकार करून उर्वरित भाग केला जाऊ शकतो, आणि अपूर्ण भाग आणि शेष विशिष्टपणे निर्धारित केले जातात.

परिणाम, जर a आणि b Z , b≠0, तर b|a ó

11. GCD आणि NOC

Z संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (GCD) ही काही संख्या d आहे जी खालील अटी पूर्ण करते

1) d हा सामाईक भाजक आहे. d| ,d| …d|

2) d हा संख्यांच्या कोणत्याही सामाईक विभाजकाने भाग जातो, उदा. d| ,d| …d| => डी | ,d| …d|